みなさんこんにちは。
みなさんは中学生のときに
という知識を習いませんでしたか。
私が初めて習ったときは
「とてもシンプルな形で表されるのが美しいな」
と思いました。
これは、だけでおこる美しさなのでしょうか。
そこで今日は、を一般化して
の変化の割合の公式を考えます。
関数について
まで増加するときの変化の割合は
\begin{aligned}&\dfrac{aq^n-ap^n}{q-p}\\&=a\times\dfrac{q^n-p^n}{q-p}\\&=a\times\dfrac{(q-p)(q^{n-1}+q^{n-1}p+\cdots+qp^{n-1}+q^n)}{q-p}\\&=a(q^{n-1}+q^{n-2}p+\cdots+pq^{n-2}+q^{n-1})\end{aligned}
とても微妙な美しさですね。
やっぱりn=2のときが一番シンプルでわかりやすいなと思います。
他の関数でも変化の割合を考えてみると面白い公式が生まれるかもしれませんので、気が向いたらやってみたいですね。
以上です。ご一読ありがとうございました。
