数学教員の一人議論

とある数学教員が頭の中の一人議論を形にします。

x≧0,y≦0,x-2y=3のときx^2+y^2の最大値,最小値を求めよ。

数学

今日は下の問題を解説します。

$x\geq0,y\leq0,x-2y=3$ のとき $x^2+y^2$ の最大値,最小値を求めよ。

解法はいくつかありそうですが、今回は図形的に考えてみます。

では早速やってみましょう。

$x\geq0,y\leq0,x-2y=3$ 上の点Pを図示するとこうなります。

ところで $OP^2=x^2+y^2$ ですから

この問題はOPの長さの最大値と最小値が分かればいいことになります。

OPが最大になるのは下図のように、点Pが点Bと重なるときです。

上図より $OP^2=3^2=9$ なので

$x^2+y^2$ の最大値は９です。

続いて最小値を求めます。

OPが最小になるのは下図のように直線OPと $x-2y=3$ が垂直になるときですね。

△OPA∽△BOAで $BO:OA:AB=2:1:\sqrt5$ なので

$OP:PA:AO=2:1:\sqrt5$

よって

$OP=OA\times\dfrac{2}{\sqrt5}=\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{2}{\sqrt5}=\dfrac{3}{\sqrt5}$

$OP^2=\dfrac{9}{5}$

したがって

$x^2+y^2$ の最小値は $\dfrac{9}{5}$ です。

答えは最大値が9,最小値が $\dfrac{9}{5}$ です。

解説は以上です。

今回の問題のように一見代数のように見える問題を図形を用いて考えるとイメージが持てて分かりやすくなることってありますよね。

ご一読ありがとうございました。