数学教員の一人議論

とある数学教員が頭の中の一人議論を形にします。

数学検定準１級の問題を解くときの頭の中を全部書いてみた

数学

私は１０月２９日に行われる数学検定準１級に向けて1日１問数学の問題を解いている。

今日の問題は

「実数 $x,y$ が２つの不等式 $y\geqq \frac{1}{2}x, y\leqq -x^2+3x-\frac14$ を満たすとき

$\dfrac{x^2}{2x^2-2xy+y^2}$

のとりうる値の最大値,最小値を求めなさい。」

である。

今からこの問題を解くのだが、解くために考えたことを全て書き連ねていく。

問題を解く際に必要なかったことも全て書いていく。

まず、真っ先に思うのは「条件の２つの不等式が示す範囲を目で見たい！」である。

２つの連立不等式の範囲

描いてみたけど何も分からないので、次は

$\dfrac{x^2}{2x^2-2xy+y^2}$

に注目してみた。

これの最大値・最小値を求めようと思っても変数が $x,y$ と２つあるので困った。

とりあえず変形してみようかな。

「分母が $x^2-2xy+y^2$ だったら $(x-y)^2$ と綺麗にまとまるのになー。と思ったけど $x^2$ が一つ多い。どうしよう。」

「なんか分母と分子の次数がどちらも2なのが怪しいので $x^2$ で分母・分子割ってみるか。」

そしたら

$\dfrac{1}{2-2\frac{y}{x}+(\frac{y}{x})^2}$

「あ、 $\frac{y}{x}=z$ とおいたら変数はzだけになった。いけそう」

「でもzが動く範囲が分からんな。とりあえず $2-2z+z^2$ の最大値・最小値を求めよう。」

$2-2z+z^2=(z-1)^2+1$

だからz=1のとき最小値1をとるな。

でも $\frac{y}{x}=1$ になるx,yはあるのかな？

条件の図を見ると $(x,y)=(1,1)$ があるから大丈夫か。

といういことは

$\dfrac{1}{2-2\frac{y}{x}+(\frac{y}{x})^2}$ の最大値は１だな。

そういえばさっき、気軽に $x^2$ で分母分子割ったけど、図を見れば $x\neq 0$ だからできたことだったんだな。

「文字で割るときは0ではないことを確かめろよ」

って生徒にいつも言っているのに、俺も気づいていないな(笑)

次は $2-2z+z^2=(z-1)^2+1$ が最大になるときを考えるか。

これは $|z-1|$ が最大になるときと同じだな。

$|z-1|=k$ 　(kは正の実数）とすると

$\dfrac{y}{x}-1=\pm k$

$y=(1\pm k)x$

だな。

これを図に書き加えよう。

この図からkが一番大きいときは $y=(1+k)x$ と $y=-x^2+3x-1/4$ が接するときになる。

$y=(1+k)xとy=-x^2+3x-1/4$ ]の連立方程式が重解をもつkの値を考えると、 $k=1,3$

条件の領域で接するのはk=1である。

ちなみにこのときのx,yは $(x,y)=(\frac12,1)$ だ。

だから

$\dfrac{1}{2-2\frac{y}{x}+(\frac{y}{x})^2}$

の最小値は[tex:\frac{1}{1^2+1}=\frac1/2}である。

まとめると

「実数 $x,y$ が２つの不等式 $y\geqq \frac{1}{2}x, y\leqq -x^2+3x-\frac14$ を満たすとき

$\dfrac{x^2}{2x^2-2xy+y^2}$

の最大値は1,最小値は $\frac{1}{2}$ だ！」

答え合わせをしよう。間違っていたら萎える(笑)

答えは…

合ってた！嬉しい！

でもやっぱり解説の方が無駄がないな。

答えが合うだけでなくもっと無駄のない記述をしたいですね。

以上です。ご一読ありがとうございました。