数学教員の一人議論

とある数学教員が頭の中の一人議論を形にします。

円と直線が接するときの接点の求め方。

数学

こんにちは。
今日は問題解説をします。

問題はこちら。

$xy$ 平面上の点O(-3,3)を中心とする円と直線 $2x-y+5=0$ が接するとき，接点の座標を求めなさい。

では早速解説をします。

直線が $ax+b+c=0$ の形で表されているので、点と直線の距離の公式で直線と円の中心 $O(-3,3)$ の距離 $d$ を求めたくなります。

\begin{align}d&=\dfrac{|2\cdot(-3)-1\cdot3+5|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}\\&=\dfrac{|-4|}{\sqrt{5}}\\&=\dfrac{4}{\sqrt5}\end{align}

接点の座標を $P(s,t)$ とすると、 $d=OP$ であるから

\begin{align}\dfrac{4}{\sqrt5}&=\sqrt{(-3-s)^2+(3-t)^2}\\\dfrac{16}{5}&=(-3-s)^2+(3-t)^2\\16&=5\left(9+6s+s^2+9-6t+t^2\right)\tag1\end{align}

ここで、 $P(s,t)$ は直線 $2x-y+5=0$ 上にあることから

$2s-t+5=0\Leftrightarrow t=2s+5\cdots ②$ が成り立つ。

これを(1)に代入して

$16=5\left(9+6s+s^2+9-6\cdot(2s+5)+(2s+5)^2\right)$

これを整理して

$(5s+7)^2=0$

$s=-\dfrac{7}{5}$

②に代入して

$t=\dfrac{11}{5}$

よって接点の交点は $\left(-\dfrac{7}{5},\dfrac{11}{5}\right)$

この問題は細かく分ければ色々な解法がありそうですが、一番最初に思いついた方法を書きました。

もし、もっとシンプルな方法がありましたらぜひ教えてください。

ご一読ありがとうございました。