数学教員の一人議論

とある数学教員が頭の中の一人議論を形にします。

2つのベクトルでできる三角形の面積の公式の証明

数学

この記事では２つのベクトル

\begin{align}\overrightarrow{a}&=(a_1,a_2)\\\overrightarrow{b}&=(b_1,b_2)\end{align}

が作る三角形の面積が

\dfrac{|a_1b_1+a_2b_2|}{2}

になることを証明します。

 

 

では早速証明をしていきます。

直線OAの式は

a_1x+a_2y=0

でB(b_1,b_2)なので点と直線の距離の公式より

OH=\dfrac{|a_1b_1+a_2b_2|}{\sqrt{a_1^2+a_2^2}}

よって

\begin{align}△OAB&＝\dfrac{OA\cdot OH}{2}\\&=\dfrac{\sqrt{a_1^2+a_2^2}\cdot\dfrac{|a_1b_1+a_2b_2|}{\sqrt{a_1^2+a_2^2}}}{2}\\&=\dfrac{|a_1b_1+a_2b_2|}{2}\end{align}

 

以上です。

点と直線の距離の公式が便利すぎますね。

ご一読ありがとうございました。