(1,-1)からy=x^2-xのグラフに引いた接線の方程式

今日は下の問題を解説します。

点 $C(1,-1)$ から $y=x^2-x$ のグラフに引いた接線の方程式を求めよ。

まずは図を書いてみましょう。

求める接線は

$y=m(x-1)-1$

とおける。

これを $y=x^2-x$ に代入すると

$x^2-x=m(x-1)-1$

これを整理して

$x^2-(m+1)x+m+1=0$

これが重解をもつので判別式Dは0になるから

\begin{align}\left\{-(m+1)\right\}^2-4\cdot1\cdot(m+1)&=0\\(m+1)(m+1-4)&=0\\m=-1,3\end{align}

よって求める接線の方程式は

$y=-(x-1)-1$ と $y=3(x-1)-1$

これを整理して

$y=-x$ と $y=3x-4$

である。

解説は以上です。

この共有点の個数と二次方程式の解の関係って中学校で扱っても理解できる内容だと思うので、応用問題としてとりいれてもいいのではないでしょうか。

ご一読ありがとうございました。

数学教員の一人議論