数学教員の一人議論

とある数学教員が頭の中の一人議論を形にします。

4cosθ+2sinθ=√2のときtanθの値は？

数学

今日は下の問題を解説します。

$4\cosθ+2\sinθ=\sqrt2　 (0°＜θ＜180°)$ のとき $\tanθ$ を求めよ。

では早速考えていきましょう。

左辺が $a\cosθ+b\sinθ$ の形になっているので三角関数の合成をしたくなります。

\begin{align}4\cosθ+2\sinθ&=\sqrt2\\2\sqrt5\left(\dfrac{4}{2\sqrt5}\cosθ+\dfrac{2}{2\sqrt5}\sinθ\right)&=\sqrt2\\\left(\dfrac{2}{\sqrt5}\cosθ+\dfrac{1}{\sqrt5}\sinθ\right)&=\dfrac{\sqrt2}{2\sqrt5}\\ \sin(\alpha+θ)&=\dfrac{\sqrt{10}}{10}\end{align}

$\alpha$ は $0°\leq\alpha\leq90°$ で $\sin\alpha=\dfrac{2}{\sqrt5},\cos\alpha=\dfrac{1}{\sqrt5},\tan\alpha=2$ を満たす角度です。

$\sin(\alpha+θ)=\dfrac{\sqrt{10}}{10}$ より

$\tan(\alpha+θ)=\pm\dfrac{1}{3}$

となるが $\sin\alpha＞\sin(\alpha+θ)$ であることから $90°\leq \alpha+θ\leq180°$ なので

$\tan(\alpha+θ)=-\dfrac{1}{3}$

加法定理より

\begin{align}\dfrac{\tan\alpha+\tan θ}{1-\tan\alpha\cdot\tan θ}&=-\dfrac{1}{3}\\\dfrac{2+\tanθ}{1-2\tanθ}&=-\dfrac{1}{3}\end{align}

これを整理して

$\tanθ=-7$

解説は以上です。

三角関数の合成をしてみましたが、あまりきれいな解法にはなりませんでした。

解の吟味も少しややこしいですし…

素直に $\sin^2θ+\cos^2θ=1$ と与式を絡めた方が分かりやすかったかもしれませんが、少しでも参考になればうれしいです。

ではまた。