3次方程式x^3+ax^2+bx+10=0の１つの解がx=2+iであるとき実数a,bの値を求めよ。

この記事では次の問題を解説します。

3次方程式 $x^3+ax^2+bx+10=0$ の1つの解が $x=2+i$ であるとき,実数a,bの値を求めよ。

早速解説していきましょう。

まず $2+i$ を解にもつなら共役な複素数 $2-i$ も解になります。

なぜなら

$(2+i)^3+a(2+i)^2+b(2+i)+10=0$

ならば

\begin{align}\overline{(2+i)^3+a(2+i)^2+b(2+i)+10}&=\overline{0}\\\overline{(2+i)^3}+\overline{a(2+i)^2}+\overline{b(2+i)}+\overline{10}&=0\\(\overline{2+i})^3+\overline{a}(\overline{2+i})^2+\overline{b}(\overline{2+i})+10&=0\\(2-i)^3+a(2-i)^2+b(2-i)+10&=0\end{align}

だからです。

つまり与えられた方程式の左辺は因数定理より

$(x-(2+i))(x-(2-i))$ つまり $x^2-4x+5$ を因数にもちます。