数学教員の一人議論

とある数学教員が頭の中の一人議論を形にします。

直線:ax+by+c=0に関して点P(x_1,y_1)と対称な点P'の座標は？

数学

みなさんこんにちは。

今日は次の問題について考えます。

直線 $l$ : $ax+by+c=0$ に関して点 $P(x_1,y_1)$ と対称な点P'の座標を求める。

直線を鏡と考えて点Pを鏡に映したとき（鏡映）の像の場所を考えるということですね。

ではやっていきましょう。

$P'(s,t)$ とおくとHはP,P'の中点 $\left(\dfrac{x_1+s}{2},\dfrac{y_1+t}{2}\right)$ である。

これが直線 $ax+by+c=0$ 上にあるので

$a\cdot\dfrac{x_1+s}{2}+b\cdot\dfrac{y_1+t}{2}+c=0\tag{1}$

が成り立つ。

直線 $l$ の方向ベクトルが $(b,-a)$ で直線PP'⊥直線 $l$ より方向ベクトルの内積が0になることから

$b(s-x_1)-a(t-y_1)=0\tag{2}$

(1)(2)を整理して

$\left\{\begin{array}{l}as+bt=-ax_1-by_1-2c\\bs-at=-ay_1+bx_1\end{array}\right.$

これを解いて

$s=\dfrac{(b^2-a^2)x_1-2aby_1-2ac}{a^2+b^2}$

$t=\dfrac{(a^2-b^2)y_1-2abx_1-2bc}{a^2+b^2}$

よってP'の座標は

$P'\left(\dfrac{(b^2-a^2)x_1-2aby_1-2ac}{a^2+b^2},\dfrac{(a^2-b^2)y_1-2abx_1-2bc}{a^2+b^2}\right)$

以上です。

かなり複雑な式になってしまいましたので、公式として覚えるのは難しそうですね。

それとも変形すればもう少し意味が分かりやすい形になるのでしょうか。

ご存じだったら教えてください。

ご一読ありがとうございました。

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