数学教員の一人議論

とある数学教員が頭の中の一人議論を形にします。

富山大学の2022入試問題を解説してみました。

数学

この記事では富山大学教育学部で2022年に出題された以下の問題を解説します。

$\displaystyle\sum_{k=1}^na_k=n^3+\dfrac{5}{2}n^2-\dfrac{639}{2}n$ を満たす数列 $\left\{{a_n}\right\}$ の一般項を求めよ。

公式を忘れている方も理解していただけるように、できるだけ公式を使わずに解説していきます。

では早速やってみましょう。

与えられた条件式の左辺を $\sum$ を使わずに表すと

$a_1+a_2+\cdots+a_{n-1}+a_{n}=n^3+\dfrac{5}{2}n^2-\dfrac{639}{2}n\tag{1}$

$n\geq2$ のとき(1)に $n-1$ を代入すると

$a_1+a_2+\cdots+a_{n-1}=(n-1)^3+\dfrac{5}{2}(n-1)^2-\dfrac{639}{2}(n-1)\tag{2}$

(1)-(2)より

\begin{align}a_n&=n^3-(n-1)^3+\dfrac{5}{2}\left\{n^2-(n-1)^2\right\}-\dfrac{639}{2}\left\{n-(n-1)\right\}\\&=n^2+n(n-1)+(n-1)^2+\dfrac{5}{2}(2n-1)-\dfrac{639}{2}\\&=3n^2+2n-321\end{align}

これに $n=1$ を代入すると $3+2-321=-316$

また、問題の条件式に $n=1$ を代入すると

$a_1=1+\dfrac{5}{2}-\dfrac{639}{2}=-316$

よってすべての自然数 $n$ に対して

$a_n=3n^2+2n-321$

解説は以上です。

数列の和から数列を求める問題でしたね。

読んでいただいた方の良い頭の体操になっていたら嬉しいです。

ご一読ありがとうございました。

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