数学教員の一人議論

とある数学教員が頭の中の一人議論を形にします。

とある二次方程式の解き方を提案したい。

教員数学

みなさんこんにちは。

私は中学校で教員をしています。

最近は３年生で二次方程式を教えているのですが、みなさんは方程式って覚えていますか？

例えばこんなのです。

方程式 $x^2=9$ を解きなさい。

これは「 $x$ に何を代入すれば左辺と右辺が一致するか」を答えなさいということです。

これは3ですね。 $3^2=9$ なので。

でももう一つあります。

それが-3です。 $(-3)^2=9$ ですからね。

というわけで、方程式 $x^2=9$ の答え(解)は3と-3です。

それでは次の方程式の解は求められますか？

$(x+3)^2=16$

です。

この方程式を解くことを日本語に訳すと

「 $x+3$ を２乗すると１６になります。 $x$ は何ですか？」

です。

$x+3$ が２乗して１６になるということは、 $x+3$ は4か-4でなくてはなりません。

$x+3=4$ になる $x$ は $x=1$

$x+3=-4$ になる $x$ は $x=-7$

です。

よってこの方程式の解は $x=1,-7$ です。

さて今日の本題の方程式がこれです。

$(x-5)^2=6$

です。

これは教科書での解き方はこうなります。

$x-5=\pm\sqrt{6}$

（ $\sqrt{6}$ は２乗して6になる正の数です）

左辺の-5を右辺に移項して

$x=5\pm\sqrt{6}$

です。

この解き方も大切です。

システマチックですし、やり方を覚えれば簡単ですからね。

でもこの方法しか練習していなかったら

そもそも $(x-5)^2$ が6になる $x$ を探しているという方程式の解のもともとの意味を忘れてしまうのではないかと心配になります。

なんか $x=5\pm\sqrt{6}$ が魔法のようにでてきて、生徒が「これが何を意味しているかよく分からないけど、丸もらえるしいっか。」となってしまうと空しいなって思うんです。

そこで、次のような解法を提案します。

目算法です。

先ほど、方程式 $x^2=9$ を解くときに「何を２乗したら9になるかな？３か。」と考えましたよね？

これが目算法です。

つまり、「 $x$ に何を代入したら $(x-5)^2=6$ になるかな？」と考えるということです。

難しく思えるかもしれません。

しかも、実際難しいです。

1,2,3…のような整数ではダメだからです。

しかし、「整数でないということは $a＋\sqrt{b}$ という形になるのかな？」と予想をつけると簡単です。

（まぁ、こういう形になると予想をつけるのは初見じゃ思いつかないですけどね）

さて、やっていきましょう。

まず、 $(x-5)^2$ が6になるということは $x-5$ が $\pm\sqrt{6}$ になる必要があります。

$(\pm\sqrt{6})^2=6$ ですからね。

そうなると $x$ は

$\pm\sqrt{6}$ が含まれていて、かつ-5を消せるような数です。

そんな数は $5\pm\sqrt{6}$ です。

実際 $x=5\pm\sqrt{6}$ を $(x-5)^2$ に代入すると

$(5\pm\sqrt{6}-5)^2=(\pm\sqrt{6})^2=6$

です。

5を入れると-5と合わさって0になって-5を消せるのですね。

初めてこうやって考えると難しいかもしれませんが、少し問題を解けばすぐ慣れますし

何より方程式の解の意味に沿って考えているので、答えに納得感があります！

この解法はどうでしょうか？

「こうやって教えたいなー。でも異端すぎるかなー」

とモヤモヤしております。

ご意見あればコメントしてくださると嬉しいです。

ご一読ありがとうございました！

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